\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, bracemath}
\usepackage{mymathutils}

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{16}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\conjug}[1]{#1^*}
\DeclareMathOperator{\Rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Grad}{grad}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents
  \section{Стационарные состояния. Волновая функция стационарного состояния.}
    Гамильтониан замкнутой системы (а также системы, находящейся в постоянном
    --- но не в переменном, --- внешнем поле) не может содержать времени явно.
    Это следует из того, что по отношению к такой физической системе все моменты
    времени эквивалентны. Поскольку, с другой стороны, всякий оператор, конечно,
    коммутативен сам с собой, то мы приходим к выводу, что у систем, не
    находящихся в переменном внешнем поле, функция Гамильтона сохраняется. Как
    известно, сохраняющаяся функция Гамильтона называется энергией. Смысл закона
    сохранения энергии в квантовой механике состоит в том, что если в данном
    состоянии энергия имеет определённое значение, то это значение остаётся
    постоянным по времени.

    Состояния, в которых энергия имеет определённые значения, называются
    \emph{стационарными состояниями}. Они описываются волновыми функциями
    \(\Psi_n\), являющимися собственными функциями оператора Гамильтона, т.\,е.,
    удовлетворяющими уравнению
    \begin{equation*}
      \hat{H}\Psi_n = E_n\Psi_n,
    \end{equation*}
    где \(E_n\) --- собственные значения энергии. Соответственно этому, волновое
    уравнение для функции \(\Psi_n\):
    \begin{equation*}
      i\hbar \frac{\partial\Psi_n}{\partial t} = \hat{H}\Psi_n = E_n\Psi_n
    \end{equation*}
    может быть непосредственно проинтегрировано по времени и даёт
    \begin{equation}
      \Psi_n  = e^{-\frac{i}{\hbar}E_nt}\psi_n(q),
    \label{eq:StableSolution}
    \end{equation}
    где \(\psi_n(q)\) --- функция только от координат. Этим определяется
    зависимость волновых функций стационарных состояний от времени.

    Малой буквой \(\psi\) мы будем обозначать волновые функции стационарных
    состояний без временного множителя. Эти функции, а также сами собственные
    значения энергии, определяются уравнением
    \begin{equation*}
      \hat{H}\psi = E\psi.
    \end{equation*}
    Стационарное состояние с наименьшим из всех возможных значений энергии
    называется \emph{нормальным} или \emph{основным} состоянием системы.

    Разложение произвольной волновой функции \(\Psi\) по волновым функциям
    стационарных состояний имеет вид
    \begin{equation}
      \Psi = \sum_n a_n e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t}\psi_n(q).
    \label{eq:Expansion}
    \end{equation}
    Квадраты \(\abs{a_n}^2\) коэффициентов разложения, как обычно, определяют
    вероятности различных энергий системы.

    Распределение вероятностей для координат в стационарном состоянии
    определяется квадратом
    \begin{equation*}
      \abs{\Psi_n}^2 = \abs{\psi_n}^2.
    \end{equation*}
    Мы видим, что оно не зависит от времени. То же самое относится и к средним
    значениям
    \begin{equation*}
      \bar{f} =
      \int \conjug{\Psi_n}\hat{f}\Psi_n dq =
      \int \conjug{\psi_n}\hat{f}\psi_n dq
    \end{equation*}
    всякой физической величины \(f\) (оператор которой не зависит от времени
    явно).

    Как указывалось, оператор всякой сохраняющейся величины коммутативен с
    гамильтонианом. Это значит, что всякая сохраняющаяся физическая величина
    может быть измерена одновременно с энергией.

  \section{Вырожденные состояния. Общие признаки вырождения уровней.}
    Среди различных стационарных состояний могут быть и такие, которые
    соответствуют одному и тому же собственному значению энергии (или, как
    говорят, энергетическому уровню системы), отличаясь значениями каких-либо
    других физических величин. О таких уровнях, которым соответствует по
    нескольку различных стационарных состояний, говорят как о
    \emph{вырожденных}.  Физическая возможность существования вырожденных
    состояний связана с тем, что энергия, вообще говоря, не составляет сама по
    себе полной системы физических величин.

    Уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены, если имеются две
    сохраняющиеся физические величины \(f\) и \(g\), операторы которых
    не коммутативны. Действительно пусть \(\psi\) есть волновая функция
    стационарного состояния, в котором, наряду с энергией, имеет определённое 
    значение величина \(f\). Тогда можно утверждать, что функция \(\hat{g}\psi\)
    не совпадает (с точностью до постоянного множителя) с \(\psi\); противное
    означало бы, что имеет определённое значение также и величина \(g\), что 
    невозможно, так как \(f\) и \(g\) не могут быть измерены одновременно. С
    другой стороны, функция \(\hat{g}\psi\) есть собственная функция
    гамильтониана, соответствующая тому же значению \(E\) энергии, что и \(\psi\):
    \begin{equation*}
      \hat{H}(\hat{g}\psi) = \hat{g}\hat{H}\psi = E(\hat{g}\psi).
    \end{equation*}
    Таким образом мы видим, что энергии \(E\) соответствует более чем одна
    собственная функция, т.\,е. уровень вырожден.

    Ясно, что любая линейная комбинация волновых функций, соответствующая
    одному и тому же вырожденному уровню энергии, есть тоже собственная функция
    того же значения энергии.
    \begin{equation*}
      \psi = C_1\psi_1 + C_2\psi_2 + \dots.
    \end{equation*}
    \begin{align*}
      \hat{H}\psi &=
      C_1\hat{H}\psi_1 + C_2\hat{H}\psi_2 + \dots =
      C_1E\psi_1 + C_2E\psi_2 + \dots =\\
      &= E\left( C_1\psi_1 + C_2\psi_2 + \dots \right) = 
      E\psi.
    \end{align*}
    Другими словами, выбор собственных функций вырожденного значения энергии
    \emph{неоднозначен}. Произвольно выбранные собственные функции вырожденного
    уровня, вообще говоря, не взаимно ортогональны. Надлежащим подбором их
    линейных комбинаций можно, однако, всегда получить набор взаимно
    ортогональных (и нормированных) собственных функций.

    Эти утверждения относительно собственных функций вырожденного уровня,
    относятся, разумеется, не только к собственным функциям энергии, но и к
    собственным функциям всякого оператора. Автоматически ортогональными
    являются лишь функции, соответствующие различным собственным значениям
    данного оператора; функции же, соответствующие одному и тому же вырожденному
    собственному значению, вообще говоря, не ортогональны.

  \section{Разделение переменных в уравнении Шрёдингера.}
    Если гамильтониан системы представляет собой сумму (или нескольких) частей
    \begin{equation*}
      \hat{H} = \hat{H}_1 + \hat{H}_2,
    \end{equation*}
    одна из которых содержит только координаты \(q_1\), а другая --- координаты
    \(q_2\), то собственные функции оператора \(\hat{H}\) могут быть написаны в
    виде произведений собственных функций операторов \(\hat{H}_1\) и
    \(\hat{H}_2\), а собственные значения энергии равны суммам собственных
    значений этих операторов:
    \begin{eqnarray*}
      \hat{H}_1\psi_1 &=& E_1\psi_1, \\
      \hat{H}_2\psi_2 &=& E_2\psi_2.
    \end{eqnarray*}
    Умножим первое уравнение \(\psi_2\), второе --- на \(\psi_1\), после чего
    сложим их:
    \begin{align*}
      \left( \hat{H}_1 + \hat{H}_2 \right)\psi_1\psi_2 =
      \hat{H}_1\psi_1\psi_2 + \hat{H}_2\psi_1\psi_2 &=\\
      = \psi_2\hat{H}_1\psi_1 + \psi_1\hat{H}_2\psi_2 &=\\
      \psi_2E_1\psi_1 + \psi_1E_2\psi_2 &= (E_1 + E_2)\psi_1\psi_2.
    \end{align*}

  \section{Дискретный и непрерывный спектр энергий. Финитное и инфинитное
  движение.}
    Спектр собственных значений энергии может быть как дискретным, так и
    непрерывным. Стационарное состояние дискретного спектра всегда соответствует
    \emph{финитному} движению системы, т.\,е.  движению, при котором система,
    или какая либо её часть, не уходит на бесконечность.

    Наоборот, стационарные состояния непрерывного спектра соответствуют
    \emph{инфинитному} движению системы.


  

\end{document}
